EJEMPLO 2021 - 016
LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF EN CIRCUITO DE "N" NODOS, "N" FUENTES DE TENSIÓN Y "N" FUENTES DE CORRIENTE.
INTRODUCCIÓN.
En la SEMANA DEL CONOCIMIENTO NÚMERO 25 se mostró como identificar un supernodo y resolver un circuito eléctrico con una fuente de voltaje en medio de dos nodos esenciales. Para esta semana y dar por terminado el tema de Ley de Corrientes de Kirchhoff, veremos la solución del circuito mostrado en la semana del conocimiento número 24.
NOTA 1: Así como se resuelve este ejercicio, se resolverán ejercicios con mayor cantidad de fuentes de corriente o voltaje.
PLANTEAMIENTO.
Encontrar los potenciales de los nodos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 mostrado en la figura 1. Usar la Ley de Corrientes de Kirchhoff para encontrar la solución.
Figura 1. Esquemático original del ejemplo.
PROCEDIMIENTO.
PASO 1. IDENTIFICAR SUPERNODOS EN EL CIRCUITO Y ESTABLECER LAS ECUACIONES DE ESTOS.
Puesto que el ejercicio ya nos está dando la designación del nodo de referencia, una nomenclatura única de todos los nodos diferentes al de referencia, una designación arbitraria de las corrientes que interactúan en cada nodo, solo nos queda por identificar si existe algún supernodo. De acuerdo con la definición de supernodo, podemos identificar el primero en la fuente V1, ya que esta fuente se encuentra entre los nodos 3 y 4 (ninguno de estos es el nodo de referencia). Por tanto, el voltaje que existe entre el nodo 3 y 4, será igual al voltaje de la fuente V1.
Sustituyendo valores...
NOTA 2: Como el polo positivo de la fuente de voltaje V1 está conectado al nodo 4, le restamos el nodo 3.
Después, podemos identificar un segundo supernodo provocado por la fuente V2, ya que esta fuente se encuentra entre los nodos 1 y 5 (ninguno de estos es el nodo de referencia). Por tanto, el voltaje que existe entre el nodo 1 y 5, será igual al voltaje de la fuente V2.
Sustituyendo valores...
NOTA 3: Como el polo positivo de la fuente de voltaje V2 está conectado al nodo 1, le restamos el nodo 5.
Por último, podemos identificar un tercer supernodo provocado por la fuente V3, ya que esta fuente se encuentra entre los nodos 6 y 2 (ninguno de estos es el nodo de referencia). Por tanto, el voltaje que existe entre el nodo 6 y 2, será igual al voltaje de la fuente V3.
Sustituyendo valores…
NOTA 4: Como el polo positivo de la fuente de voltaje V3 está conectado al nodo 6, le restamos el nodo 2.
Con estos supernodos, podemos eliminar las fuentes de voltaje V1, V2 y V3, y las corrientes que circulan por esta (ver figura 2). A diferencia de una supermalla, en la que la fuente de corriente se colocaba en circuito abierto, en un supernodo, la fuente de voltaje se coloca en cortocircuito.
Figura 2. Esquemático con la eliminación de la fuente V1, V2 y V3 que generan un supernodo.
PASO 2. ESTABLECER LA ECUACIÓN DEL NODO 7.
De acuerdo con el postulado de Gustav Kirchhoff, y respetando la ley de la conservación de la energía, tenemos que la sumatoria de las corrientes en el nodo 7 será igual a cero:
Y con el apoyo de la figura 2, podemos ver que estas corrientes serán igual a…
Por lo tanto…
Sustituyendo valores y realizando manipulación algebraica, tenemos que…
PASO 3. ESTABLECER LA ECUACIÓN DEL NODO 8.
De acuerdo con el postulado de Gustav Kirchhoff, y respetando la ley de la conservación de la energía, tenemos que la sumatoria de las corrientes en el nodo 8 será igual a cero:
Y con el apoyo de la figura 2, podemos ver que estas corrientes serán igual a…
Por lo tanto…
Sustituyendo valores y realizando manipulación algebraica, tenemos que…
PASO 4. ESTABLECER LA ECUACIÓN DEL PRIMER SUPERNODO (NODO 1 Y 5)
De acuerdo con el postulado de Gustav Kirchhoff, y respetando la ley de la conservación de la energía, tenemos que la sumatoria de las corrientes en el supernodo será igual a cero:
Y con el apoyo de la figura 2, podemos ver que estas corrientes serán igual a…
Por lo tanto…
Sustituyendo valores y realizando manipulación algebraica, tenemos que…
PASO 5. ESTABLECER LA ECUACIÓN DEL SEGUNDO SUPERNODO (NODO 2 Y 6).
De acuerdo con el postulado de Gustav Kirchhoff, y respetando la ley de la conservación de la energía, tenemos que la sumatoria de las corrientes en el supernodo será igual a cero:
Y con el apoyo de la figura 2, podemos ver que estas corrientes serán igual a…
Por lo tanto…
Sustituyendo valores y realizando manipulación algebraica, tenemos que…
PASO 6. ESTABLECER LA ECUACION DEL TERCER SUPERNODO (NODO 3 Y 4).
De acuerdo con el postulado de Gustav Kirchhoff, y respetando la ley de la conservación de la energía, tenemos que la sumatoria de las corrientes en el supernodo será igual a cero:
Y con el apoyo de la figura 2, podemos ver que estas corrientes serán igual a…
Por lo tanto…
Sustituyendo valores y realizando manipulación algebraica, tenemos que…
PASO 7. ENCONTRAR LOS POTENCIALES EN LOS NODOS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Y 8 .
A lo largo de los pasos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtuvimos ocho ecuaciones, por lo tanto, tenemos un sistema de ecuaciones lineales de ocho incógnitas y ocho ecuaciones.
Aplicando el método propuesto por Gauss – Jordan, los potenciales que satisfacen a estas ecuaciones son:
PASO 8. SIMULACIÓN EN SOFTWARE NI MULTISIM 14.0.
Figura 3. Simulación en software NI MULTISIM 14.0.
Descargar simulación en software MULTISIM y en formato PDF.
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