EJEMPLO 2021 - 015
LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF - SUPERNODO
INTRODUCCIÓN.
En la SEMANA DEL CONOCIMIENTO NÚMERO 20, 21 y 22 se mostró como resolver circuitos con una cantidad de "n" nodos y "n" fuentes de corriente. En esta ocasión, veremos que sucede cuando tenemos al mismo tiempo alguna fuente de voltaje que no está conectada al nodo de referencia.
En esta semana, se analizará un circuito con cinco nodos, dos fuentes de corriente y una fuente de voltaje, para aplicar el principio de SUPERNODO.
NOTA 1: "Existe un supernodo cuando una fuente de voltaje está entre dos nodos esenciales".
PLANTEAMIENTO.
Encontrar las caídas de potencial y las corrientes que circulan en cada elemento eléctrico del circuito mostrado en la figura 1, así como también, el sentido correcto del flujo de dichas corrientes. Usar la Ley de Corrientes de Kirchhoff para encontrar la solución.
Figura 1. Esquemático original del ejemplo.
PROCEDIMIENTO.
PASO 1. DESIGNAR UN NODO DE REFERENCIA QUE TENDRÁ UN POTENCIAL DE 0 VOLTS.
Para poder analizar cualquier circuito eléctrico por medio de la Ley de Corrientes de Kirchhoff, es necesario establecer un punto (nodo) de manera arbitraría, que servirá como referencia para establecer los potenciales de los demás nodos.
La recomendación para facilitar los cálculos, es que el nodo de referencia sea el que tenga la mayor cantidad de equipos conectados a él. En este caso, nosotros seleccionaremos el nodo de referencia como se muestra en la figura 2.
Figura 2. Esquemático con el nodo de referencia.
PASO 2. DESIGNAR UNA NOMENCLATURA ÚNICA A LOS NODOS RESTANTES.
Para llevar un seguimiento adecuado del ejercicio, necesitamos nombrar los nodos restantes, para poder hacer referencia a ellos. Esta nomenclatura es libre, pero nosotros optamos por definirla de la siguiente manera.
Figura 3. Esquemático con la designación de los nodos restantes.
PASO 3. DEFINIR LOS POTENCIALES DE LAS FUENTES DE VOLTAJE CONECTADAS AL NODO DE REFERENCIA.
En el circuito del ejercicio, solo existe una fuente de voltaje conectada al nodo de referencia y esta es V2. Con esto podemos decir que el voltaje del nodo 4 es igual al voltaje de la fuente V2.
Sustituyendo valores...
PASO 4. DEFINIR EL SENTIDO DE LAS CORRIENTES DE LOS NODOS FALTANTES
Como ya conocemos el voltaje del nodo 4, tenemos que establecer el sentido de las corrientes de los nodos 1, 2 y 3 que nos permitirán obtener los voltajes de estos.
Al igual que en la Ley de Tensiones de Kirchhoff, en la que definíamos el sentido de la corriente de forma arbitraria, definiremos de igual forma (arbitrariamente) el sentido de las corrientes que interactúan en los nodos 1, 2 y 3.
Comúnmente, si no tenemos conocimiento del comportamiento del circuito, se designan que todas las corrientes salen del nodo (ver figura 4).
Figura 4. Esquemático con la primera designación del sentido de las corrientes de los nodos 1, 2 y 3.
PASO 5. IDENTIFICAR SUPERNODOS EN EL CIRCUITO Y ESTABLECER LAS ECUACIONES DE ESTOS.
De acuerdo con la definición de supernodo, podemos identificarlo en la fuente V1, ya que esta fuente se encuentra entre los nodos 2 y 3 (ninguno de estos es el nodo de referencia). Por tanto, el voltaje que existe entre el nodo 2 y 3, será igual al voltaje de la fuente V1.
Sustituyendo valores...
NOTA 2: Como el polo positivo de la fuente V1 está conectado al nodo 2, le restamos el nodo 3.
Con este supernodo, podemos eliminar a la fuente de voltaje V1 y las corrientes que circulan por esta (ver figura 5). A diferencia de una supermalla, en la que la fuente de corriente se colocaba en circuito abierto, en un supernodo, la fuente de voltaje se coloca en cortocircuito.
Figura 5. Esquemático con la eliminación de la fuente V1 que genera un supernodo.
NOTA 3: No se altera el sentido de las corrientes de los nodos 2 y 3, ya que estas, se utilizan más adelante.
PASO 6. ESTABLECER LA ECUACIÓN DEL NODO 1.
De acuerdo con el postulado de Gustav Kirchhoff, y respetando la ley de la conservación de la energía, tenemos que la sumatoria de las corrientes en el nodo 1 será igual a cero:
Y con el apoyo de la figura 5, podemos ver que estas corrientes serán igual a...
Por lo tanto...
Ahora, asumiendo que la corriente que entra a la resistencia R1, genera un potencial positivo, y la corriente que sale de esta misma resistencia tiene un potencial negativo, podemos decir que el potencial en la resistencia R1, es la resta del nodo 1 y el nodo 2.
Entonces...
Sustituyendo valores y realizando manipulación algebraica, tenemos que...
PASO 7. ESTABLECER LA ECUACIÓN DEL SUPERNODO (NODO 2 Y 3).
De acuerdo con el postulado de Gustav Kirchhoff, y respetando la ley de la conservación de la energía, tenemos que la sumatoria de las corrientes en el supernodo será igual a cero:
Y con el apoyo de la figura 5, podemos ver que estas corrientes serán igual a...
Por lo tanto...
Ahora, asumiendo que la corriente que entra a la resistencia R1, genera un potencial positivo, y la corriente que sale de esta misma resistencia tiene un potencial negativo, podemos decir que el potencial en la resistencia R1, es la resta del potencial del nodo 2 y el nodo 1.
Y así para los demás elementos...
Entonces...
Sustituyendo valores y realizando manipulación algebraica, tenemos que...
PASO 8. ENCONTRAR LOS POTENCIALES EN LOS NODOS 1, 2, 3 Y 4.
A lo largo de los pasos 3, 4, 5, 6 y 7, obtuvimos cuatro ecuaciones, por lo tanto, tenemos un sistema de ecuaciones lineales de cuatro incógnitas y cuatro ecuaciones.
Pasamos a un sistema de matrices...
Aplicando el método de solución de Gauss - Jordan (puede usarse cualquier otro) tenemos que...
Por lo tanto, los potenciales de los nodos son:
PASO 9. ENCONTRAR LAS CORRIENTES QUE CIRCULAN EN CADA ELEMENTO.
En el PASO 8, se encontrarón los voltajes de los cuatro nodos. Aplicando la ley de ohm podemos encontrar las corrientes que tenemos en cada lemento. Estos los anotamos en la tabla 1.
Tabla 1. Tabla de resultados del ejercicio.
NOTA 4: Los signos negativos indican que en el paso 1, se designó de forma incorrecta el sentido de las corrientes, y que, en lugar de salir, estas entran (así como se muestran en la figura 6).
Figura 6. Esquemático con designación correcta de corrientes eléctricas.
PASO 10. SIMULACIÓN EN SOFTWARE NI MULTISIM 14.0.
Figura 4. Simulación en software NI MULTISIM 14.0.
Descargar simulación en software MULTISIM y en formato PDF.
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