EJEMPLO 2021 - 014
LEY DE TENSIONES DE KIRCHHOFF EN CIRCUITO DE "N" MALLAS, "N" FUENTES DE TENSIÓN Y "N" FUENTES DE CORRIENTE.
INTRODUCCIÓN.
En la SEMANA DEL CONOCIMIENTO NÚMERO 23 se mostró como identificar una supermalla y resolver un circuito eléctrico con una fuente de corriente en medio de dos mallas. Para esta semana y dar por terminado el tema de ley de tensiones de Kirchhoff, veremos la solución de un circuito con seis mallas, tres fuentes de voltaje y tres fuentes de corriente.
NOTA 1: Así como se resuelve este ejercicio, se resolverán ejercicios con mayor cantidad de fuentes de corriente o voltaje.
PLANTEAMIENTO.
Encontrar las caídas de potencial y las corrientes que circulan en cada elemento eléctrico del circuito mostrado en la figura 1, así como también, el sentido correcto del flujo de dichas corrientes. Usar la Ley de Tensiones de Kirchhoff para encontrar la solución.
Figura 1. Esquemático original del ejemplo.
PROCEDIMIENTO.
PASO 1. DESIGNAR EL SENTIDO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA QUE CIRCULA EN LAS MALLAS.
Como podemos ver en la figura 1, existen seis mallas, por lo que existen seis trayectorias cerradas donde circula una corriente diferente. Por sencillez, designaremos los flujos de las corrientes en sentido horario de forma arbitraría (ver figura 2), en caso de requerirlo, se harán las modificaciones al final.
Figura 2. Esquemático con designación arbitraria de corrientes eléctricas.
PASO 2. IDENTIFICAR SUPERMALLAS Y ESTABLECER ECUACIONES DE ESTAS.
De acuerdo con la definición de supermalla, podemos identificar una supermalla provocada por la fuente I1 por lo tanto, la sumatoria algebraica de las corrientes de las mallas III y VI, será igual a la corriente de la fuente I1 que se encuentra en medio de ambas...
NOTA 2: Como la fuente de corriente I1 tiene el mismo sentido que la corriente de la malla VI, entonces le restamos la corriente de la malla III.
Sustituyendo valores...
Después identificamos una segunda supermalla provocada por la fuente I2, por lo tanto, la sumatoria algebraica de las corrientes de las mallas IV y V, será igual a la corriente de la fuente I2 que se encuentra en medio de ambas...
NOTA 3: Como la fuente de corriente I2 tiene el mismo sentido que la corriente de la malla V, entonces le restamos la corriente de la malla IV.
Sustituyendo valores...
Por último, identificamos una tercera supermalla provocada por la fuente I3, por lo tanto, la sumatoria algebraica de las corrientes de las mallas V y VI, será igual a la corriente de la fuente I3 que se encuentra en medio de ambas...
NOTA 4: Como la fuente de corriente I3 tiene el mismo sentido que la corriente de la malla V, entonces le restamos la corriente de la malla VI.
Sustituyendo valores...
Las tres supermallas descritas están de forma consecutiva (una después de otra), por lo tanto, hacemos una supermalla que va desde la resistencia R7 hasta la fuente V1 R7 (ver figura 3), Establecemos el flujo de corriente auxiliar de esta supermalla, y lo hacemos de forma arbitraría en sentido horario (flecha verde).
Figura 3. Esquemático con la designación arbitraria de la supermalla.
NOTA 5: No se altera el sentido de las corrientes de las mallas III, IV, V y VI ya que estas se utilizán más adelante.
PASO 3. ESTABLECER LA ECUACIÓN DE LA MALLA I.
Así como hemos obtenido la ecuación de una malla en semanas anteriores, la obtendremos de igual forma empezando desde la fuente V2. La designación de la corriente de la malla I se encuentra con la terminal negativa de la fuente V2, por tanto...
Después la corriente de la malla I se encuentra con la resistencia R1 y aplicando Ley de Ohm obtendremos su caída de potencial, teniendo...
Continuando con el sentido de la corriente de la malla I se encuentra con el polo negativo de la fuente V3, por tanto...
Por último, la corriente de la malla I se encuentra con la resistencia R5, pero existe un choque con la corriente de la malla IV, por lo tanto, la caída de potencial será la multiplicación de la resistencia R5 con la diferencia que existe entre la corriente I e IV.
NOTA 6: Como estamos obteniendo la ecuación de la malla I, entonces restamos la corriente de la malla IV a la corriente de la malla I.
Sustituyendo valores y realizando manipulación alebraica...
PASO 4. ESTABLECER LA ECUACIÓN DE LA MALLA II.
Así como se realizó en el PASO 3, obtendremos la ecuación de igual forma, empezando desde la fuente V3. La designación de la corriente de la malla II se encuentra con la terminal positiva de la fuente V3, por tanto...
Después la corriente de la malla II se encuentra con la resistencia R2 y aplicando Ley de Ohm obtendremos su caída de potencial, teniendo...
Continuando con el sentido de la corriente de la malla II se encuentra con la resistencia R3, pero existe un choque con la corriente de la malla III, por lo tanto, la caída de potencia será la multiplicación de la resistencia R3 con la diferencia que existe entre la corriente II e III.
NOTA 7: Como estamos obteniendo la ecuación de la malla II, entonces restamos la corriente de la malla III a la corriente de la malla II.
Por último, la corriente de la malla II se encuentra con la resistencia R6, pero existe un choque con la corriente de la malla V, por lo tanto, la caída de potencia será la multiplicación de la resistencia R6 con la diferencia que existe entre la corriente II e V.
NOTA 8: Como estamos obteniendo la ecuación de la malla II, entonces restamos la corriente de la malla V a la corriente de la malla II.
Sustituyendo valores y realizando manipulación alebraica...
PASO 5. ESTABLECER LA ECUACIÓN DE LA SUPERMALLA (MALLA III, IV, V Y VI).
Así como hemos obtenido las ecuaciones de las mallas en semanas anteriores, aquí los aplicaremos de forma similar. Vamos a guiarnos del sentido establecido por la supermalla en la figura 3 (fecha verde), comenzando desde la resistencia R7.
Primero, el sentido de la supermalla (flecha verde) se encuentra con la resistencia R7 (y es el mismo sentido de la corriente de la malla IV), entonces...
Después, el sentido de la supermalla se encuentra con la resistencia R5 (y es el mismo sentido de la corriente de la malla IV), pero a diferencia de la resistencia R7, aquí existe un choque entre la corriente IV e I, por lo tanto…
A continuación, el sentido de la supermalla se encuentra con la resistencia R6 (y es el mismo sentido de la corriente de la malla V), pero al igual que la resistencia R5, aquí existe un choque entre la corriente V e II, por lo tanto…
Siguiendo con el sentido de la supermalla, esta se encuentra con la resistencia R3 (y es el mismo sentido de la corriente de la malla III), pero al igual que la resistencia R6, aquí existe un choque entre la corriente III e II, por lo tanto…
Después, el sentido de la supermalla se encuentra con el polo negativo de la fuente V1 (y es el mismo sentido de la corriente de la malla III), por lo tanto…
A continuación, el sentido de la supermalla se encuentra con la resistencia R4 (y es el mismo sentido de la corriente de la malla III), por lo tanto…
Por último, el sentido de la supermalla se encuentra con la resistencia R8 (y es el mismo sentido de la corriente de la malla VI), entonces…
Sustituyendo valores y realizando manipulación algebraica...
PASO 6. ENCONTRAR LA CORRIENTE DE LAS MALLAS I, II, III, IV, V Y VI.
A lo largo de los pasos 2, 3, 4 y 5, obtuvimos seis ecuaciones, por lo tanto, tenemos un sistema de ecuaciones de seis incógnitas y seis ecuaciones.
Pasamos a un sistema de matrices.
Aplicando el método de solución GAUSS – JORDAN (puede usarse cualquier otro) tenemos que…
Por lo tanto...
PASO 7. ENCONTRAR LOS POTENCIALES EN CADA ELEMENTO.
En el PASO 6, se encontrarón las corrientes totales de las seis mallas. Aplicando la ley de ohm podemos encontrar los potenciales que tenemos en cada lemento. Estos los anotamos en la tabla 1.
Tabla 1. Tabla de resultados del ejercicio.
NOTA 9: Los signos negativos indican que en el paso 1, se designí de forma incorrecta el sentido de las corrientes, y que, en lugar de salir, estas entran (así como se muestra en la figura 4).
Figura 4. Esquemático con la designación correcta de la supermalla.
PASO 8. SIMULACIÓN EN SOFTWARE NI MULTISIM 14.0.
Figura 5. Simulación en software NI MULTISIM 14.0.
Descargar simulación en software MULTISIM y en formato PDF.
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